平成30年(2018年)に厚生労働省から公表された職業安定法に下記記載。
紹介会社の不当な手法を抑制するよう改正。

5.紹介した求職者への対応に関する留意点
① 自らの紹介により就職した者(無期雇用契約に限ります。)に対して、就職した日から2年間は、転職の勧奨を行ってはなりません。
② 手数料に関して、返戻金制度を設けることが望まれます。
③ 求職者・求人者双方に、それぞれから受理する手数料の明示が必要です。
④ 求職者等を勧誘するに当たっては、お祝い金等の金銭を支給することは望ましくありません。

あくまでも紹介会社が払うお祝い金なので病院が直接払うお祝い金は問題なし。
ただし早期離職がないようにすることが主旨のため、病院が払うにしても入職数か月後にした方がいいと思う。